Основная теорема арифметики. Связь между НОК и НОД. Теорема о «превышениях». Алгоритм Евклида.

Основная теорема арифметики. Связь между НОК и НОД. Теорема о «превышениях». Алгоритм Евклида.


Полный текст статьи в PDF


В одной из своих лекций для преподавателей известный математик А. В. Савватеев рассказал об Основной теореме арифметики, автором которой считается Евклид (отметка времени 26:07): 

 

Ролик понравился, смотрел его много раз. Согласно Основной теореме, целое число можно разложить на простые множители только одним способом.

Большинство учеников и не подозревает о ее существовании, считая факт однозначности разложения очевидным и не зная, что проблема не такая уж простая. Поразило то, что, по словам Алексея Владимировича, все гимназисты в дореволюционной России обязаны были знать ее доказательство. «Со школьниками это полгода упорной работы!».

Мне захотелось найти простой вывод этой теоремы, наглядный, не использующий искусственных «хитроумных» приемов, доступный нашим школьникам (скажем, 8-9-го класса). Я начал разбираться с проблемой, хотя по жизни это тема не моя. Но, наверное, это было и к лучшему, т.к. удалось увидеть простой наглядный подход, мимо которого почему-то прошли.

Кроме общепринятого доказательства Основной теоремы, данного в ролике, оказалось, что существует еще два подхода, использующие метод индукции. Но они тоже явно мало подъемны для учеников (довольно сложные логические построения).

В ролике дается традиционное доказательство, состоящее из 3 пунктов.

В 1-м пункте ролика доказывается (3 непростых логических звена), что для натурального числа a и простого p, таких, что a не делится на p, всегда имеется целочисленное решение (m,n) уравнения a·m+p·n=1. Это один из вариантов записи «Соотношения Безу». Обычно при доказательстве его используется «алгоритм Евклида» («взаимного вычитания»). В ролике этот пункт доказывается проще (но тоже не просто).

Во 2-м пункте ролика доказывается, что для целых a и b, если каждое из них не делится на простое p, то и (a·b) не делится на p. Это т.н. «лемма Эвклида». Доказательство ее тоже непростое, «искусственное», хотя красивое. Фактически, все 3 звена 1-го пункта строятся, только чтобы подвести ко 2-му пункту. Вместе 1-й и 2-й пункты составляют «хитрое» логическое сооружение. С каждым логическим звеном вы вынуждены согласиться, а вся конструкция вызывает сложные ощущения. Об этих пунктах Алексей Владимирович говорит: «Вы видите, как хитро всё, очень хитро. Как Евклид додумался до этого я не знаю… Но это Евклид!»

3-й пункт в ролике простой для понимания. На основании 2-го пункта доказывается главное утверждение основной теоремы арифметики – единственность разложения целого числа на простые множители. Его, конечно, для школьников надо оставить тем же, что и в ролике, стандартным.


Материал далее дан в том виде, как, по-моему, он должен излагаться ученикам: подробно, с параллельными числовыми примерами.

 

Полный текст статьи в PDF